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第1127章 霍奇猜想的【新英体育】新思路

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  大概是【新英体育】在年初那会儿,陆舟还没有将陈阳从燕大数学中心挖来的【新英体育】时候,这位陈教授便在研究霍奇猜想了。

  陆舟还记得,当时他在黑板上研究自己的【新英体育】超椭圆曲线分析法,并且用了一种非常巧妙的【新英体育】方法,将这个原本为准黎曼猜想设计的【新英体育】数学工具,改进之后直接运用在了对非奇异复代数簇的【新英体育】代数拓扑,以及其定义子簇的【新英体育】多项式方程所表述的【新英体育】几何关联问题的【新英体育】研究上。

  当初也正是【新英体育】因为这一手漂亮的【新英体育】操作,让陆舟不禁动了爱才之心,将他从燕大数学中心挖到了金陵这边来。

  现在已经过去快一年了,关于霍奇猜想的【新英体育】课题仍然没有丝毫的【新英体育】进展,再加上前段时间一直在忙代数几何统一理论的【新英体育】事情,以至于陆舟都快把这件事给忘了。

  “走,去我办公室说。”

  带着陈阳来到了自己的【新英体育】办公室,陆舟亲自去墙角帮他拖来了一张白板,并且将自己的【新英体育】记号笔递到了他的【新英体育】手上。

  没有将时间浪费在客套上,接过了笔之后,站在白板前的【新英体育】陈阳思索了片刻,首先在白板上随手画了个圆,然后在旁边标记了S,并写下了一行表达式。

  “……对于紧致无边的【新英体育】曲面S,其Gauss曲率K可以在整个曲面上进行积分。”

  一边写着,陈阳一边继续说道。

  “众所周知的【新英体育】是【新英体育】,一个曲面不一定只容有一个度量,所以我尝试对S的【新英体育】度量进行了更换。在更换了度量之后,相应的【新英体育】Gauss曲率K同样也会发生改变,但积分值却与曲面的【新英体育】度量无关,而只与曲面的【新英体育】Euler示性数X(S)有关,利用这一性质,我们可以——”

  看着白板上的【新英体育】算式,陆舟眉毛轻轻抬了下,饶有兴趣地说道。

  “Gauss-Bonnet公式?”

  手中的【新英体育】笔停住,陈阳点了下头说道。

  “正是【新英体育】。”

  说罢,他将Gauss-Bonnet公式写了上去。

  看到这画龙点睛的【新英体育】一笔,陆舟的【新英体育】脸上感兴趣的【新英体育】神色愈发浓烈了。

  事实上,他大概已经猜到,陈阳是【新英体育】打算干什么了。

  根据高维黎曼流形M的【新英体育】性质,Gauss曲率可以推广为截面曲率,它的【新英体育】值可以由黎曼曲率的【新英体育】张量决定。至于其被积函数,则是【新英体育】由曲率张量组成的【新英体育】很复杂的【新英体育】代数式——即Gauss-Bonnet被积函数。

  至于其在整个流形上的【新英体育】积分,则是【新英体育】由这个流形的【新英体育】Euler示性数X(M)所决定。

  利用这些性质,便能够将Hodge理论推广到完备非紧流形中。

  这些深刻的【新英体育】数学意义,是【新英体育】由陈省身教授得到的【新英体育】,也就是【新英体育】著名的【新英体育】et–陈公式中的【新英体育】数学内涵。

  再结合阿提亚爵士的【新英体育】L2上同调方法,沿着这条思路继续走下去,搞不好还真能把这个猜想给证出来。

  当然,具体该如何证明,还需要深入研究一下就是【新英体育】了。

  想到这里,陆舟赞许地点头。

  秒啊。

  实在是【新英体育】妙。

  不知何时,陈阳的【新英体育】背后已经站了一圈人。

  早在他刚刚开始板书的【新英体育】时候,办公室里的【新英体育】人便注意到了这边。

  盯着白板上的【新英体育】算式,季默两眼发光,激动的【新英体育】小声说道:“这,难道就是【新英体育】传说中的【新英体育】——”

  见自己师弟说话又只说了一半,何昌文皱了下眉头,低声道:“到底是【新英体育】啥,别卖关子。”

  季默奇怪地看了他一眼。

  “霍奇猜想啊!很明显嘛。”

  何昌文:“……”

  这特么哪里明显了?!

  不过仔细一看,好像确实是【新英体育】这样。

  想到这里,何昌文不禁在心中安慰了自己一句。

  嗯,如果认真看的【新英体育】话,他应该也是【新英体育】能看出来的【新英体育】。

  白板上的【新英体育】笔停下了,陈阳陷入了沉思。

  显然,这条思路他只走到了一半,后面该怎么走还没有很好的【新英体育】想法。

  不知何时来的【新英体育】办公室,站在旁边一直沉默不语的【新英体育】佩雷尔曼教授,忽然开口说道。

  “这条思路看起来有点意思。”

  回头看向了佩雷尔曼教授,陈阳微微愣了下,有些意外地说道。

  “您是【新英体育】什么时候过来的【新英体育】?”

  “大概在你写到一半的【新英体育】时候……本来我是【新英体育】来找陆教授的【新英体育】,没想到在这里还有意外收获,”停顿了一下,佩雷尔曼继续说,“……可以给我用下笔吗?”

  没有任何的【新英体育】犹豫,陈阳果断将手中的【新英体育】记号笔让了出来。

  从陈教授的【新英体育】手中接过了笔,站在白板前的【新英体育】佩雷尔曼沉思了片刻,随后在他的【新英体育】算式下面空了几行,继续写了起来。

  “既然有现成的【新英体育】代数几何统一理论可以运用,式(3)的【新英体育】证明我就省略了。”

  “……我的【新英体育】建议是【新英体育】,对于之后部分的【新英体育】证明,我们可以将紧流形M问题提升到它的【新英体育】通用复盖流形上,得到完备非紧流形M。”

  “根据阿提亚的【新英体育】定理,如果我们能在截面曲率的【新英体育】条件下证明除了中间的【新英体育】L2同调群其余都为零……”

  说着,他手中的【新英体育】笔恰拘掠⑻逵酷轻抖了一下,很快写下了一行简洁而优美的【新英体育】算式。

  【H^n(M)6≠{0},且当q≠n时,H^q(M)={0}】

  看到这行算式的【新英体育】瞬间,陈阳的【新英体育】瞳孔微微收缩。

  脸上的【新英体育】表情瞬间浮现了一丝明悟,他压抑着激动的【新英体育】语气说道。

  “……我们就能得到霍奇猜想的【新英体育】证明!”

  那么问题来了。

  该如何证明,在截面曲率的【新英体育】条件下,除了中间的【新英体育】L2同调群其余都为零?

  对话到这里忽然戛然而止了。

  短暂的【新英体育】兴奋之后,两人不约而同地陷入了沉默。

  最后,又不约而同地看向了陆舟。

  注意到两人看向自己,从头到尾一句话都没说的【新英体育】陆舟忽然眨了眨眼,笑着说道。

  “我觉得你们的【新英体育】想法都不错……虽然我没仔细研究过这个课题,但直觉告诉我照着这条路走下去,八成是【新英体育】能够有所收获的【新英体育】。”

  顿了顿,他继续说道。

  “这个思路非常有意思,我的【新英体育】建议是【新英体育】,你们不如一起研究这个课题好了。”

  总感觉陆舟似乎看出来了些什么,却又没有把话说明白。

  佩雷尔曼皱了下眉头,迟疑问道。

  “你不参与吗?这可是【新英体育】个很有意思的【新英体育】难题。”

  何止是【新英体育】有意思。

  霍奇猜想可以说是【新英体育】现代数学发展中抽象特征的【新英体育】集中体现,研究的【新英体育】是【新英体育】数学三大分支——分析、拓扑、代数几何之间的【新英体育】内在联系。

  至于难度,作为千禧难题的【新英体育】它,自然是【新英体育】毋庸置疑的【新英体育】。

  令佩雷尔曼诧异的【新英体育】是【新英体育】,陆舟居然没有表现出很强烈的【新英体育】兴趣。

  陆舟:“……虽然我很感兴趣,但IMCRC那边还有一堆事情等着我去处理,恐怕最近我都没有更多的【新英体育】时间,能够分配到数学这边了。”

  听到这个消息,佩雷尔曼脸上露出了遗憾的【新英体育】表情。

  “那实在是【新英体育】太遗憾了。”

  “虽然我恐怕抽不出时间帮忙,但我郑重的【新英体育】向你推荐陈教授,”拍了拍陈阳的【新英体育】肩膀,陆舟笑着说道,“他是【新英体育】一位优秀的【新英体育】学者,关于他的【新英体育】能力,相信你也是【新英体育】了解的【新英体育】,我就不多吹牛了。总之,你们合作的【新英体育】话,我相信一定能够解决这个问题。”

  虽然对这种绝对的【新英体育】说法表示怀疑,但看了一眼陈教授,佩雷尔曼也没有说什么,只是【新英体育】点了下头,看样子是【新英体育】认可了这位合作伙伴。

  两人都是【新英体育】那种话不多的【新英体育】类型,也没有太多的【新英体育】交流。

  陆舟清了清嗓子之后,看着佩雷尔曼继续说道。

  “说起来,你继续留在这边没问题吗?代数与几何的【新英体育】统一理论已经完成了。”

  “没有问题,”佩雷尔曼摇了摇头,“我和母亲已经打过电话了,她让我去做自己想做的【新英体育】事情,不用太在意她那边。我确实还有想做的【新英体育】事情没有完成,我打算在这里……再待一段时间,把霍奇猜想解决了再回去。”

  虽然很意外佩雷尔曼教授居然会选择留下来,但这种好事陆舟自然是【新英体育】不会拒绝,当即笑着说道。

  “那你还是【新英体育】住在原来那个公寓吧,我会帮你申请延长公寓的【新英体育】使用时间。”

  佩雷尔曼点了点头,感谢道。

  “麻烦你了。”

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